与えられた対数関数に関する等式を満たす $M$ または $a$ の値を求めます。具体的には、次の4つの問題を解きます。 (1) $\log_4 M = 1$ を満たす $M$ (2) $\log_{\frac{1}{2}} M = -3$ を満たす $M$ (3) $\log_a \sqrt{5} = \frac{1}{2}$ を満たす $a$ (4) $\log_a \frac{1}{16} = -2$ を満たす $a$

1. 問題の内容

与えられた対数関数に関する等式を満たす $M$ または $a$ の値を求めます。具体的には、次の4つの問題を解きます。

(1) $\log_4 M = 1$ を満たす $M$

(2) $\log_{\frac{1}{2}} M = -3$ を満たす $M$

(3) $\log_a \sqrt{5} = \frac{1}{2}$ を満たす $a$

(4) $\log_a \frac{1}{16} = -2$ を満たす $a$

2. 解き方の手順

(1) $\log_4 M = 1$ は、$4^1 = M$ と同値です。

したがって、$M = 4$ です。

(2) $\log_{\frac{1}{2}} M = -3$ は、$(\frac{1}{2})^{-3} = M$ と同値です。

$(\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$ なので、$M = 8$ です。

(3) $\log_a \sqrt{5} = \frac{1}{2}$ は、$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ と同値です。

両辺を2乗すると、$a = (\sqrt{5})^2 = 5$ となります。

(4) $\log_a \frac{1}{16} = -2$ は、$a^{-2} = \frac{1}{16}$ と同値です。

$a^{-2} = \frac{1}{a^2} = \frac{1}{16}$ より、$a^2 = 16$ となります。

したがって、$a = \pm 4$ ですが、対数の底は正の数でなければならないため、$a = 4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $M = 4$

(2) $M = 8$

(3) $a = 5$

(4) $a = 4$