数列$\{a_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$、数列$\{b_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和を $T_n$ とするとき、 $a_1 = 2, b_1 = 0$ $a_{n+1} = 2T_n + 2$ (n=1, 2, 3, ...) $b_{n+1} = 2S_n$ (n=1, 2, 3, ...) が成り立つ。 (1) $a_2, b_2$ を求めよ。 (2) $a_{n+1}, b_{n+1}$ を $a_n, b_n$ を用いて表せ。 (3) 一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$、数列$\{b_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和を $T_n$ とするとき、

$a_1 = 2, b_1 = 0$

$a_{n+1} = 2T_n + 2$ (n=1, 2, 3, ...)

$b_{n+1} = 2S_n$ (n=1, 2, 3, ...)

が成り立つ。

(1) $a_2, b_2$ を求めよ。

(2) $a_{n+1}, b_{n+1}$ を $a_n, b_n$ を用いて表せ。

(3) 一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_2, b_2$ を求める。

$a_2 = 2T_1 + 2 = 2b_1 + 2 = 2 \cdot 0 + 2 = 2$

$b_2 = 2S_1 = 2a_1 = 2 \cdot 2 = 4$

(2) $a_{n+1}, b_{n+1}$ を $a_n, b_n$ を用いて表す。

$a_{n+1} = 2T_n + 2$

$a_n = 2T_{n-1} + 2$ （$n \geq 2$）

$a_{n+1} - a_n = 2T_n - 2T_{n-1} = 2b_n$ （$n \geq 2$）

$a_{n+1} = a_n + 2b_n$　（$n \geq 2$）

$n=1$の時も成り立つか確認する。

$a_2 = 2$、$a_1 + 2b_1 = 2 + 2(0) = 2$なので、$n=1$でも成り立つ。

したがって、$a_{n+1} = a_n + 2b_n$

$b_{n+1} = 2S_n$

$S_n = \frac{b_{n+1}}{2}$

$S_{n-1} = \frac{b_n}{2}$ （$n \geq 2$）

$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{b_{n+1}}{2} - \frac{b_n}{2}$

$2a_n = b_{n+1} - b_n$

$b_{n+1} = 2a_n + b_n$

(3) 一般項 $a_n$ を求める。

$a_{n+1} = a_n + 2b_n$

$b_{n+1} = 2a_n + b_n$

$b_n = \frac{a_{n+1} - a_n}{2}$

$b_{n+1} = \frac{a_{n+2} - a_{n+1}}{2}$

$\frac{a_{n+2} - a_{n+1}}{2} = 2a_n + \frac{a_{n+1} - a_n}{2}$

$a_{n+2} - a_{n+1} = 4a_n + a_{n+1} - a_n$

$a_{n+2} = 2a_{n+1} + 3a_n$

特性方程式: $x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x-3)(x+1) = 0$

$x = 3, -1$

$a_{n+2} - 3a_{n+1} = -1(a_{n+1} - 3a_n)$

$a_{n+1} + a_{n} = 3(a_n + a_{n-1})$

$a_2 = 2$, $a_1 = 2$

$a_3 = 2a_2 + 3a_1 = 2(2) + 3(2) = 10$

$a_n = c_1 3^{n-1} + c_2 (-1)^{n-1}$

$a_1 = c_1 + c_2 = 2$

$a_2 = 3c_1 - c_2 = 2$

$4c_1 = 4 \implies c_1 = 1$

$c_2 = 1$

$a_n = 3^{n-1} + (-1)^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = 2$, $b_2 = 4$

(2) $a_{n+1} = a_n + 2b_n$, $b_{n+1} = 2a_n + b_n$

(3) $a_n = 3^{n-1} + (-1)^{n-1}$