2次方程式 $ax^2 + 8ax + 4 = 0$ が $1 \le x \le 3$ の範囲に実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $ax^2 + 8ax + 4 = 0$ が $1 \le x \le 3$ の範囲に実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式を変形します。

$ax^2 + 8ax + 4 = 0$

$a \ne 0$ の場合を考えます。（$a=0$の場合は、$4=0$となり不適）

$x^2 + 8x + \frac{4}{a} = 0$

解の公式を用いると、

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - \frac{16}{a}}}{2} = -4 \pm \sqrt{16 - \frac{4}{a}}$

実数解を持つためには、$16 - \frac{4}{a} \ge 0$ が必要です。

$16 \ge \frac{4}{a}$

$4 \ge \frac{1}{a}$

$a > 0$ のとき、$4a \ge 1$ より $a \ge \frac{1}{4}$

$a < 0$ のとき、$4a \le 1$ より $a \le \frac{1}{4}$。よって、$a < 0$

次に、実数解 $x$ が $1 \le x \le 3$ を満たす条件を考えます。

$x = -4 \pm 2\sqrt{4 - \frac{1}{a}}$

$1 \le -4 \pm 2\sqrt{4 - \frac{1}{a}} \le 3$

$5 \le \pm 2\sqrt{4 - \frac{1}{a}} \le 7$

正の符号の場合：

$5 \le 2\sqrt{4 - \frac{1}{a}} \le 7$

$\frac{5}{2} \le \sqrt{4 - \frac{1}{a}} \le \frac{7}{2}$

$\frac{25}{4} \le 4 - \frac{1}{a} \le \frac{49}{4}$

$\frac{25}{4} - 4 \le - \frac{1}{a} \le \frac{49}{4} - 4$

$\frac{9}{4} \le - \frac{1}{a} \le \frac{33}{4}$

$- \frac{33}{4} \le \frac{1}{a} \le - \frac{9}{4}$

これはあり得ない。

負の符号の場合：

$5 \le -2\sqrt{4 - \frac{1}{a}} \le 7$

$-\frac{7}{2} \le \sqrt{4 - \frac{1}{a}} \le -\frac{5}{2}$

これもあり得ない。

$x^2 + 8x + \frac{4}{a} = 0$について、$f(x) = x^2 + 8x + \frac{4}{a}$と置く。

$1 \le x \le 3$に解を持つ条件は、$f(1)f(3) \le 0$または、$f(1)=0$または、$f(3)=0$

$f(1) = 1 + 8 + \frac{4}{a} = 9 + \frac{4}{a}$

$f(3) = 9 + 24 + \frac{4}{a} = 33 + \frac{4}{a}$

$(9+\frac{4}{a})(33+\frac{4}{a}) \le 0$

$(9a+4)(33a+4) \le 0$

$-\frac{33}{4} \le a \le -\frac{4}{9}$

軸 $x = -4$ は、$1 \le x \le 3$の範囲にない。

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{9} \le a \le -\frac{4}{33}$ より $\frac{12}{33} \le a \le \frac{12}{9}$,　よって、$\frac{4}{11} \le a \le \frac{4}{3}$.

$\frac{1}{4} \le a$　のとき　

$\frac{12}{33}$ を通る。

問題文より

$\frac{12}{3} \le a \le \frac{45}{67}$

$\frac{4}{3} \le a \le \frac{45}{67}$

最終的な答え

$\frac{1}{3} \le a \le \frac{5}{7}$