画像に記載されている3つの問題を解きます。 (1) $\log_3 5$ の値を求めます。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。 (2) $8^{\frac{2}{3}}$ の値を求めます。 (3) $\log_2 16$ の値を求めます。 (4) $\log_4 \frac{1}{16}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

画像に記載されている3つの問題を解きます。

(1) $\log_3 5$ の値を求めます。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

(2) $8^{\frac{2}{3}}$ の値を求めます。

(3) $\log_2 16$ の値を求めます。

(4) $\log_4 \frac{1}{16}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\log_3 5$ の値を求める。

まず、底の変換公式を用いて、常用対数で表します。

$\log_3 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 3}$

$\log_{10} 5$ は $\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$ で求められます。

$\log_{10} 5 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

したがって、

$\log_3 5 = \frac{0.6990}{0.4771} \approx 1.4651$

(2) $8^{\frac{2}{3}}$ の値を求める。

$8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = (\sqrt[3]{8})^2$

$\sqrt[3]{8} = 2$ なので、

$(2)^2 = 4$

(3) $\log_2 16$ の値を求める。

$\log_2 16$ は、$2^x = 16$ を満たす $x$ を求めることと同じです。

$2^x = 16 = 2^4$ より、$x = 4$

したがって、$\log_2 16 = 4$

(4) $\log_4 \frac{1}{16}$ の値を求める。

$\log_4 \frac{1}{16}$ は、$4^x = \frac{1}{16}$ を満たす $x$ を求めることと同じです。

$\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}$ より、$4^x = 4^{-2}$

したがって、$x = -2$

3. 最終的な答え

(1) $\log_3 5 \approx 1.4651$

(2) $8^{\frac{2}{3}} = 4$

(3) $\log_2 16 = 4$

(4) $\log_4 \frac{1}{16} = -2$