不等式 $\sqrt{x+5} \le -x+1$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{x+5} \le -x+1$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) まず、根号の中身が0以上である必要があるので、 $x+5 \ge 0$ つまり $x \ge -5$ という条件が必要になる。

(2) 次に、$\sqrt{x+5} \le -x+1$ の両辺を2乗することを考える。

両辺がともに0以上である必要があるため、$-x+1 \ge 0$、つまり $x \le 1$ という条件が必要になる。

$x \ge -5$ と $x \le 1$ を合わせると、$-5 \le x \le 1$ が得られる。

(3) $-5 \le x \le 1$ の範囲で、両辺を2乗すると、

$$x+5 \le (-x+1)^2$$

$$x+5 \le x^2 - 2x + 1$$

$$0 \le x^2 - 3x - 4$$

$$0 \le (x-4)(x+1)$$

したがって、$x \le -1$ または $x \ge 4$ となる。

(4) (1), (2), (3) の結果を合わせると、

$x \ge -5$ かつ $x \le 1$ かつ ($x \le -1$ または $x \ge 4$) を満たす必要がある。

$x \ge 4$ は $x \le 1$ を満たさないので、$x \le -1$ のみ考慮すればよい。

したがって、$-5 \le x \le -1$ が解となる。

3. 最終的な答え

$-5 \le x \le -1$