問題は、2直線 $x=1$, $y=2$ を漸近線とし、点 $(2, 1)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表すことです。

1. 問題の内容

問題は、2直線 $x=1$, $y=2$ を漸近線とし、点 $(2, 1)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表すことです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の漸近線を考えます。

$y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の水平漸近線は $y = \frac{a}{c}$ であり、垂直漸近線は $x = -\frac{d}{c}$ です。

問題より、水平漸近線は $y=2$、垂直漸近線は $x=1$ なので、

$\frac{a}{c} = 2$

$-\frac{d}{c} = 1$

となります。

これらの式から、$a = 2c$、$d = -c$ が得られます。

したがって、関数は

$y = \frac{2cx+b}{cx-c}$

と表せます。次に、この関数が点 $(2,1)$ を通ることから、 $x=2$、$y=1$ を代入します。

$1 = \frac{2c(2)+b}{c(2)-c}$

$1 = \frac{4c+b}{2c-c}$

$1 = \frac{4c+b}{c}$

$c = 4c + b$

$b = -3c$

よって、関数は

$y = \frac{2cx - 3c}{cx - c}$

と表せます。

$c$ は $0$ でなければどんな値でも構いません。そこで、$c = 1$ とすると、

$y = \frac{2x - 3}{x - 1}$

となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{2x-3}{x-1}$