不等式 $\frac{2x-1}{x-1} > x+1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{2x-1}{x-1} > x+1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

$\frac{2x-1}{x-1} > x+1$

両辺から $x+1$ を引きます。

$\frac{2x-1}{x-1} - (x+1) > 0$

左辺を通分します。

$\frac{2x-1 - (x+1)(x-1)}{x-1} > 0$

分子を展開して整理します。

$\frac{2x-1 - (x^2-1)}{x-1} > 0$

$\frac{2x-1 - x^2 + 1}{x-1} > 0$

$\frac{-x^2 + 2x}{x-1} > 0$

分子を $-x$ でくくります。

$\frac{-x(x-2)}{x-1} > 0$

両辺に $-1$ をかけます。不等号の向きが変わることに注意してください。

$\frac{x(x-2)}{x-1} < 0$

この不等式を解くために、数直線を使い、$x=0, 1, 2$ を境にして符号の変化を調べます。

- $x<0$ のとき、$\frac{x(x-2)}{x-1}$ の符号は $\frac{(-)(-)}{(-)} = (-)$ なので、不等式を満たします。

- $0<x<1$ のとき、$\frac{x(x-2)}{x-1}$ の符号は $\frac{(+)(-)}{(-)} = (+)$ なので、不等式を満たしません。

- $1<x<2$ のとき、$\frac{x(x-2)}{x-1}$ の符号は $\frac{(+)(-)}{(+)} = (-)$ なので、不等式を満たします。

- $x>2$ のとき、$\frac{x(x-2)}{x-1}$ の符号は $\frac{(+)(+)}{(+)} = (+)$ なので、不等式を満たしません。

ただし、$x=1$ は分母を0にするので、$x \neq 1$ である必要があります。

3. 最終的な答え

$x < 0$ または $1 < x < 2$