$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$\frac{2}{b} + \frac{12}{a-b}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$\frac{2}{b} + \frac{12}{a-b}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ を有理化します。

$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$

$\sqrt{3}$ の近似値は1.732なので、$\sqrt{3}+1$ の近似値は 2.732 となります。

したがって、整数部分 $a = 2$ です。

小数部分 $b$ は、元の数から整数部分を引いたものなので、$b = (\sqrt{3}+1) - 2 = \sqrt{3} - 1$ です。

次に、$\frac{2}{b} + \frac{12}{a-b}$ を計算します。

$\frac{2}{b} = \frac{2}{\sqrt{3}-1} = \sqrt{3}+1$

$a-b = 2 - (\sqrt{3}-1) = 3-\sqrt{3}$

$\frac{12}{a-b} = \frac{12}{3-\sqrt{3}} = \frac{12(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} = \frac{12(3+\sqrt{3})}{9-3} = \frac{12(3+\sqrt{3})}{6} = 2(3+\sqrt{3}) = 6+2\sqrt{3}$

よって、

$\frac{2}{b} + \frac{12}{a-b} = (\sqrt{3}+1) + (6+2\sqrt{3}) = 7+3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$7+3\sqrt{3}$