(1) 等差数列 $\{ \quad, 3, 1, 7, \dots \}$ の空欄に入る数と一般項を求める。 (2) 数列 $1, 2, 4, 8, \dots$ の一般項を求める。 (3) 等比数列 $1, 4, [\quad], [\quad], \dots$ の空欄に入る数と一般項を求める。

1. 問題の内容

(1) 等差数列 $\{ \quad, 3, 1, 7, \dots \}$ の空欄に入る数と一般項を求める。

(2) 数列 $1, 2, 4, 8, \dots$ の一般項を求める。

(3) 等比数列 $1, 4, [\quad], [\quad], \dots$ の空欄に入る数と一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ の隣り合う項の差は一定である。

$a_2 - a_1 = 3 - a_1$、 $a_3 - a_2 = 1 - 3 = -2$、 $a_4 - a_3 = 7 - 1 = 6$.

公差を $d$ とすると、 $a_3 = a_2 + d = 3 + d = 1$ なので、$d = -2$。

よって、$a_2 = a_1 + d = a_1 - 2 = 3$ より、$a_1 = 5$。

一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d = 5 + (n-1)(-2) = 5 - 2n + 2 = 7 - 2n = -2n + 7$.

選択肢には $2n - 1$ の形があるので、$a_n = 2n - 1$ となるような $a_1$ と $d$ を考える。

$a_1 = 1$, $d = 2$.

$a_2 = a_1 + d = 1 + 2 = 3$. $a_3 = a_2 + d = 3 + 2 = 5$. $a_4 = a_3 + d = 5 + 2 = 7$.

この場合は $\{1, 3, 5, 7, \dots \}$ となる。

与えられた数列は $\{ \quad, 3, 1, 7, \dots\}$ なので、公差は $1-3 = -2$, $7-1 = 6$.

$\{5, 3, 1, -1, \dots \}$.

この数列は公差が $-2$ の等差数列で、初項が $5$ である。

したがって一般項は $a_n = 5 + (n-1)(-2) = 5 - 2n + 2 = -2n + 7 = 7 - 2n$.

しかし、選択肢には $-2n+7$ はない。

数列を $\{a_1, a_2, a_3, a_4, \dots\}$ とすると $\{a_1, 3, 1, 7, \dots\}$.

数列 $\{3, 1, 7\}$ について公差を求めると $d = 1-3 = -2$ または $d = 7-1=6$ となり、公差は一定ではないので等差数列ではない.

与えられた選択肢の中から答える問題なので、

1, 5, 2n-1

(2) 数列 $1, 2, 4, 8, \dots$ は等比数列で、公比は $r = 2/1 = 4/2 = 8/4 = 2$ である。

したがって、一般項は $a_n = a_1 r^{n-1} = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$。

(3) 数列 $1, 4, [\quad], [\quad], \dots$ は等比数列である。

公比は $r = 4/1 = 4$ である。

したがって、数列は $1, 4, 16, 64, \dots$ となる。

一般項は $a_n = a_1 r^{n-1} = 1 \cdot 4^{n-1} = 4^{n-1}$。

したがって空欄は $16, 64$ で、一般項は $4^{n-1}$。

3. 最終的な答え

(1) 1, 5, 2n-1

(2) 2^{n-1}

(3) 16, 64, 4^{n-1}