分数関数 $y = \frac{2x + 5}{2x + 1}$ のグラフを描く問題です。

はい、承知しました。画像の問題を解いていきます。

**問題 7.1**

1. 問題の内容

分数関数 $y = \frac{2x + 5}{2x + 1}$ のグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

1. 漸近線を求めます。

* 垂直漸近線: 分母が0になる $x$ の値を探します。$2x + 1 = 0$ より $x = -\frac{1}{2}$ が垂直漸近線です。

* 水平漸近線: $x$ を無限大に近づけたときの $y$ の値を求めます。$\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 5}{2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{5}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{2}{2} = 1$ より、$y = 1$ が水平漸近線です。

2. グラフの概形を描きます。漸近線を基準にして、いくつかの $x$ の値に対する $y$ の値を計算し、グラフをプロットします。例えば、$x = 0$ のとき $y = 5$、$x = 1$ のとき $y = \frac{7}{3}$、$x = -1$ のとき $y = -3$ などです。

3. 分数関数は、

$y = \frac{2x + 5}{2x + 1} = \frac{2x + 1 + 4}{2x + 1} = 1 + \frac{4}{2x + 1} = 1 + \frac{2}{x + \frac{1}{2}}$

となるので、$y=\frac{2}{x}$を$x$方向に $-\frac{1}{2}$ 、$y$方向に $1$ 平行移動したものになります。

3. 最終的な答え

グラフの概形: $x = -\frac{1}{2}$ が垂直漸近線、$y = 1$ が水平漸近線となる双曲線。

**問題 7.2**

1. 問題の内容

無理関数 $y = \sqrt{3 - 2x}$ のグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

1. 定義域を求めます。根号の中身が0以上である必要があります。$3 - 2x \geq 0$ より、$x \leq \frac{3}{2}$ が定義域です。

2. グラフの概形を描きます。定義域内でいくつかの $x$ の値に対する $y$ の値を計算し、グラフをプロットします。例えば、$x = \frac{3}{2}$ のとき $y = 0$、$x = 1$ のとき $y = 1$、$x = -3$ のとき $y = 3$ などです。$y = \sqrt{-2(x - \frac{3}{2})}$であるから、$y = \sqrt{-2x}$をx方向に$\frac{3}{2}$平行移動したものになります。

3. 最終的な答え

グラフの概形: $x \leq \frac{3}{2}$ の範囲で定義され、$x = \frac{3}{2}$ で $y = 0$ となるグラフ。

**問題 7.3**

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{2x - 1}$ の逆関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. $x$ と $y$ を入れ替えます。$x = \sqrt{2y - 1}$

2. $y$ について解きます。$x^2 = 2y - 1$ より、$2y = x^2 + 1$、したがって $y = \frac{x^2 + 1}{2}$

3. 元の関数の定義域と値域を調べます。$2x-1\geq 0$ より、$x\geq \frac{1}{2}$。また、$y\geq 0$。これより、逆関数の定義域は$x\geq 0$

3. 最終的な答え

逆関数: $y = \frac{x^2 + 1}{2}$ (定義域: $x \geq 0$)

**問題 7.4**

1. 問題の内容

$f(x) = \frac{2}{x+1}$、 $g(x) = \frac{1}{2}x + 1$ に対し、合成関数 $f(g(x))$、 $g(f(x))$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. $f(g(x))$ を求めます。$f(g(x)) = f(\frac{1}{2}x + 1) = \frac{2}{(\frac{1}{2}x + 1) + 1} = \frac{2}{\frac{1}{2}x + 2} = \frac{4}{x + 4}$

2. $g(f(x))$ を求めます。$g(f(x)) = g(\frac{2}{x+1}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{x+1} + 1 = \frac{1}{x+1} + 1 = \frac{1 + (x+1)}{x+1} = \frac{x+2}{x+1}$

3. 最終的な答え

$f(g(x)) = \frac{4}{x + 4}$

$g(f(x)) = \frac{x+2}{x+1}$

**問題 7.5**

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x-1}$ について、$f(f^{-1}(x)) = x$ が成り立つことを確認する問題です。

2. 解き方の手順

1. 逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。$y = \frac{1}{x-1}$ より、$x = \frac{1}{y-1}$。$y - 1 = \frac{1}{x}$ より、$y = \frac{1}{x} + 1 = \frac{1+x}{x}$。したがって、$f^{-1}(x) = \frac{x+1}{x}$

2. $f(f^{-1}(x))$ を計算します。

$f(f^{-1}(x)) = f(\frac{x+1}{x}) = \frac{1}{\frac{x+1}{x} - 1} = \frac{1}{\frac{x+1-x}{x}} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$

3. 最終的な答え

$f(f^{-1}(x)) = x$ が成り立つ。