与えられた4x4行列の行列式の値を求めます。行列は以下の通りです。 $$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\ 3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3 \end{vmatrix} $$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式の値を求めます。行列は以下の通りです。

$$$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

3 & 2 & 5 & 7 \\

3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\

3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3

\end{vmatrix}

$$$$

2. 解き方の手順

この行列式は、ファンデルモンドの行列式と呼ばれる特殊な形をしています。一般的に、ファンデルモンド行列の行列式は以下のようになります。

$$$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & \cdots & 1 \\

x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\

x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}

\end{vmatrix}

= \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)

$$$$

この問題の場合、$x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = 5, x_4 = 7$ です。したがって、行列式は以下のようになります。

$$$$

\begin{aligned}

& (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_4 - x_1)(x_3 - x_2)(x_4 - x_2)(x_4 - x_3) \\

&= (2-3)(5-3)(7-3)(5-2)(7-2)(7-5) \\

&= (-1)(2)(4)(3)(5)(2) \\

&= -240

\end{aligned}

$$$$

3. 最終的な答え

与えられた行列式の値は-240です。

最終的な答え：-240