与えられた複素数を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ の形で表す。

はい、承知いたしました。画像にある複素数の極形式表現を求めます。

1. 問題の内容

与えられた複素数を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ の形で表す。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

まず、絶対値 $r$ を計算します。

$r = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$

次に、偏角 $\theta$ を求めます。$\cos\theta = \frac{1}{2}, \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$となる$\theta$は$\frac{\pi}{3}$です。

よって、$\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$

(2) $-\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}$

絶対値 $r = \sqrt{(-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$

偏角 $\theta$ を求めます。$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$となる$\theta$は$\frac{3\pi}{4}$です。

よって、$-\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}$

(3) $-i$

絶対値 $r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1$

偏角 $\theta$ を求めます。$\cos\theta = 0, \sin\theta = -1$となる$\theta$は$\frac{3\pi}{2}$です。

よって、$-i = \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}$

(4) $-1$

絶対値 $r = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1$

偏角 $\theta$ を求めます。$\cos\theta = -1, \sin\theta = 0$となる$\theta$は$\pi$です。

よって、$-1 = \cos\pi + i\sin\pi$

(5) $\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4}$

$1+i = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$

$1-i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

$(1+i)^6 = (\sqrt{2})^6 (\cos\frac{6\pi}{4} + i\sin\frac{6\pi}{4}) = 8(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}) = 8(-i) = -8i$

$(1-i)^4 = (\sqrt{2})^4 (\cos(-\frac{4\pi}{4}) + i\sin(-\frac{4\pi}{4})) = 4(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi)) = 4(-1) = -4$

$\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4} = \frac{-8i}{-4} = 2i$

$2i = 2(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$

(6) $(\cos\frac{4\pi}{9} + i\cos\frac{\pi}{18})(\sin\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{18})$

$(\cos\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{4\pi}{9})(\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18}) + i\sin\frac{\pi}{18})$

$\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18}) = \sin(\frac{\pi}{18})$なので修正します。

$(\cos\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{18})(\sin\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{18})$

3. 最終的な答え

(1) $\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$

(2) $\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}$

(3) $\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}$

(4) $\cos\pi + i\sin\pi$

(5) $2(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$

(6) $(\cos\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{4\pi}{9})(\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18}) + i\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18}))$

(6)は計算を修正します。

$(\cos\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{4\pi}{9})(\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18}) + i\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18})) = (\cos\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{4\pi}{9})(\cos\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{18}) = \cos(\frac{4\pi}{9} + \frac{4\pi}{9}) + i\sin(\frac{4\pi}{9} + \frac{\pi}{18}) = cos(\frac{8\pi}{9}) + i\sin(\frac{9\pi}{18}) = \cos\frac{8\pi}{9} + i\sin(\frac{\pi}{2})$

$(\cos\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{4\pi}{9})[\sin\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{18}] = [\cos\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{4\pi}{9}][\cos (\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{9}) + i\sin \frac{\pi}{18}] = (\cos\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{4\pi}{9})[\cos (-\frac{-\pi}{18} - \frac{4\pi}{9}] = cos\frac{\pi}{18} + i\sin \frac{\pi}{18}) = cos [2(\frac{4\pi}{9})] + i\sin \frac{(\pi/2 -4\pi/9)+pi/18=5pi/18 = cos5pi/18} = cos5pi/18+ i\sin5pi/18]

最終答え：

(1) $\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$

(2) $\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}$

(3) $\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}$

(4) $\cos\pi + i\sin\pi$

(5) $2(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$

(6) 修正中

(6) $(\cos\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{4\pi}{9})(\cos (\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{9})+i\sin(\frac{\pi}{18}))$

最終的な答えは修正中ですので、ご注意ください。

(6) の修正完了。

(6) $(\cos\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{4\pi}{9})(\sin\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{18})$

$\sin\frac{4\pi}{9}=\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{9}) = \cos(\frac{9\pi-8\pi}{18})=\cos\frac{\pi}{18}$

したがって

$(\cos\frac{4\pi}{9} + i\sin\frac{4\pi}{9})(\cos\frac{\pi}{18}+ i\sin\frac{\pi}{18}) = \cos(\frac{4\pi}{9}+\frac{\pi}{18})+ i\sin(\frac{4\pi}{9}+\frac{\pi}{18})=\cos(\frac{8\pi+\pi}{18})+ i\sin(\frac{8\pi+\pi}{18}) =\cos(\frac{9\pi}{18})+ i\sin(\frac{9\pi}{18}) =\cos(\frac{\pi}{2})+ i\sin(\frac{\pi}{2})=i$

$cos(\frac{\pi}{2} ) + i sin (\frac{\pi}{2})$

最終的な答え：

(1) $\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$

(2) $\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}$

(3) $\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}$

(4) $\cos\pi + i\sin\pi$

(5) $2(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$

(6) $\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$