与えられた複素数を $a + ib$ の形で表す問題です。具体的には、以下の8つの問題を解く必要があります。 (1) $e^{(1+i)^2}$ (2) $\frac{(2i^4 - i)^2}{-i^2 + i^3}$ (3) $|1+i|^2$ (4) $|(1+i)^2|$ (5) $|(1-i)^2(1+i)|$ (6) $e^{i\frac{\pi}{2}}$ (7) $e^{i\frac{\pi}{4}} - e^{-i\frac{\pi}{4}}$ (8) $(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}})^2$

1. 問題の内容

与えられた複素数を $a + ib$ の形で表す問題です。具体的には、以下の8つの問題を解く必要があります。

(1) $e^{(1+i)^2}$

(2) $\frac{(2i^4 - i)^2}{-i^2 + i^3}$

(3) $|1+i|^2$

(4) $|(1+i)^2|$

(5) $|(1-i)^2(1+i)|$

(6) $e^{i\frac{\pi}{2}}$

(7) $e^{i\frac{\pi}{4}} - e^{-i\frac{\pi}{4}}$

(8) $(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}})^2$

2. 解き方の手順

(1) $e^{(1+i)^2}$

まず、$(1+i)^2$ を計算します。

$(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$

したがって、

$e^{(1+i)^2} = e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)$

(2) $\frac{(2i^4 - i)^2}{-i^2 + i^3}$

$i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$ を用いて式を整理します。

$2i^4 - i = 2(1) - i = 2-i$

$-i^2 + i^3 = -(-1) + (-i) = 1 - i$

したがって、

$\frac{(2i^4 - i)^2}{-i^2 + i^3} = \frac{(2-i)^2}{1-i} = \frac{4 - 4i + i^2}{1-i} = \frac{4-4i-1}{1-i} = \frac{3-4i}{1-i}$

$\frac{3-4i}{1-i} = \frac{(3-4i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{3+3i-4i-4i^2}{1-i^2} = \frac{3-i+4}{1+1} = \frac{7-i}{2} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}i$

(3) $|1+i|^2$

$|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

したがって、

$|1+i|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

(4) $|(1+i)^2|$

$(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$

$|(1+i)^2| = |2i| = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$

(5) $|(1-i)^2(1+i)|$

$(1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$

$|(1-i)^2(1+i)| = |-2i(1+i)| = |-2i - 2i^2| = |-2i + 2| = |2-2i| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(6) $e^{i\frac{\pi}{2}}$

オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$ を用います。

$e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = 0 + i(1) = i$

(7) $e^{i\frac{\pi}{4}} - e^{-i\frac{\pi}{4}}$

オイラーの公式より、

$e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}$

$e^{-i\frac{\pi}{4}} = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、

$e^{i\frac{\pi}{4}} - e^{-i\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) - (\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2i}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}i$

(8) $(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}})^2$

$(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 2(\frac{1}{\sqrt{2}})(i\frac{1}{\sqrt{2}}) + (i\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} + 2(\frac{i}{2}) - \frac{1}{2} = i$

3. 最終的な答え

(1) $\cos(2) + i\sin(2)$

(2) $\frac{7}{2} - \frac{1}{2}i$

(3) $2$

(4) $2$

(5) $2\sqrt{2}$

(6) $i$

(7) $\sqrt{2}i$

(8) $i$