内積空間 $R^3$ の部分空間 $W$ が与えられています。$W$ は次の連立方程式を満たすベクトル $x = (x_1, x_2, x_3)$ の集合として定義されています。 $x_1 + 2x_2 + x_3 = 0$ $2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0$ このとき、$W$ の直交補空間 $W^{\perp}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

内積空間 $R^3$ の部分空間 $W$ が与えられています。$W$ は次の連立方程式を満たすベクトル $x = (x_1, x_2, x_3)$ の集合として定義されています。

$x_1 + 2x_2 + x_3 = 0$

$2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0$

このとき、$W$ の直交補空間 $W^{\perp}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

直交補空間 $W^{\perp}$ は、$W$ のすべてのベクトルと直交するベクトル全体の集合です。$W$ は連立一次方程式で定義されているので、$W^{\perp}$ はこれらの連立一次方程式の係数ベクトルによって張られる空間になります。

連立方程式の係数ベクトルは、それぞれ $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ です。

したがって、$W^{\perp}$ は $v_1$ と $v_2$ によって張られる空間となります。

$W^{\perp} = \{ c_1 v_1 + c_2 v_2 \mid c_1, c_2 \in R \} = \{ c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \mid c_1, c_2 \in R \}$

3. 最終的な答え

$W^{\perp} = \left\{ c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \ \middle| \ c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}$