与えられた行列式の値を、第1行に関する展開を用いて計算する問題です。問題は(1)と(2)の2つあります。 (1) 3x3行列の行列式を計算する。行列は $ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} $ (2) 4x4行列の行列式を計算する。行列は $ \begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を、第1行に関する展開を用いて計算する問題です。問題は(1)と(2)の2つあります。

(1) 3x3行列の行列式を計算する。行列は

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 3 \\

2 & -1 & 4 \\

3 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

(2) 4x4行列の行列式を計算する。行列は

$$

\begin{vmatrix}

2 & 0 & -1 & 0 \\

3 & 2 & 0 & 1 \\

1 & -4 & 2 & 1 \\

0 & 2 & -1 & 2

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

(1) 第1行に関する展開を用いて計算します。

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 3 \\

2 & -1 & 4 \\

3 & 1 & 2

\end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13}

$$

ここで、$C_{ij}$は$(i,j)$成分に関する余因子です。今回は第1行の1番目と2番目の要素が0なので、3番目の項だけ計算すれば十分です。

$$

C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) = 2 + 3 = 5

$$

したがって、行列式は

$$

3 \cdot 5 = 15

$$

(2) 第1行に関する展開を用いて計算します。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 0 & -1 & 0 \\

3 & 2 & 0 & 1 \\

1 & -4 & 2 & 1 \\

0 & 2 & -1 & 2

\end{vmatrix} = 2 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + (-1) \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14}

$$

ここで、$C_{ij}$は$(i,j)$成分に関する余因子です。今回は第1行の2番目と4番目の要素が0なので、1番目と3番目の項だけ計算すれば十分です。

$$

C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 2(4-(-1)) + (4-4) = 2 \cdot 5 = 10

$$

$$

C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 3(-8-2) - 2(2-0) + (2-0) = 3(-10) - 4 + 2 = -30 - 4 + 2 = -32

$$

したがって、行列式は

$$

2 \cdot 10 + (-1) \cdot (-32) = 20 + 32 = 52

$$

3. 最終的な答え

(1) 15

(2) 52