与えられた2つの行列式を、それぞれ第1行に関する展開（余因子展開）を用いて計算する問題です。 (1) $ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} $ (2) $ \begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた2つの行列式を、それぞれ第1行に関する展開（余因子展開）を用いて計算する問題です。

(1)

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 3 \\

2 & -1 & 4 \\

3 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

(2)

$$

\begin{vmatrix}

2 & 0 & -1 & 0 \\

3 & 2 & 0 & 1 \\

1 & -4 & 2 & 1 \\

0 & 2 & -1 & 2

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

(1)

第1行に関する余因子展開を行います。

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 3 \\

2 & -1 & 4 \\

3 & 1 & 2

\end{vmatrix}

= 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13}

$$

ここで、$C_{ij}$は$(i,j)$要素の余因子です。

したがって、

$$

3 \cdot C_{13} = 3 \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) = 3 \cdot (2+3) = 3 \cdot 5 = 15

$$

(2)

第1行に関する余因子展開を行います。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 0 & -1 & 0 \\

3 & 2 & 0 & 1 \\

1 & -4 & 2 & 1 \\

0 & 2 & -1 & 2

\end{vmatrix}

= 2 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + (-1) \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14} = 2 \cdot C_{11} - C_{13}

$$

$$

C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) - 0 \cdot (-4 \cdot 2 - 1 \cdot 2) + 1 \cdot (-4 \cdot (-1) - 2 \cdot 2) = 2 \cdot (4+1) + 0 + (4-4) = 2 \cdot 5 + 0 = 10

$$

$$

C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-4 \cdot 2 - 1 \cdot 2) - 2 \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot 0) + 1 \cdot (1 \cdot 2 - (-4) \cdot 0) = 3 \cdot (-8-2) - 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 3 \cdot (-10) - 4 + 2 = -30 - 4 + 2 = -32

$$

したがって、

$$

2 \cdot C_{11} - C_{13} = 2 \cdot 10 - (-32) = 20 + 32 = 52

$$

3. 最終的な答え

(1) 15

(2) 52