与えられた2次関数のグラフが、指定された条件（x軸との交点の数）を満たすように、定数 $k$ の値または値の範囲を定める問題です。 (1) $y = -x^2 - 2x + k$　(x軸と2点で交わる) (2) $y = x^2 - (k + 1)x + 1$　(x軸に接する) (3) $y = 2(x - 1)^2 - k$　(x軸と共有点をもたない)

1. 問題の内容

与えられた2次関数のグラフが、指定された条件（x軸との交点の数）を満たすように、定数 $k$ の値または値の範囲を定める問題です。

(1) $y = -x^2 - 2x + k$　(x軸と2点で交わる)

(2) $y = x^2 - (k + 1)x + 1$　(x軸に接する)

(3) $y = 2(x - 1)^2 - k$　(x軸と共有点をもたない)

2. 解き方の手順

2次関数のグラフとx軸との交点の数は、2次方程式の判別式 $D$ を用いて判断します。

* $D > 0$: x軸と2点で交わる

* $D = 0$: x軸に接する

* $D < 0$: x軸と共有点をもたない

(1) $y = -x^2 - 2x + k$ の場合

$y = 0$ とおくと、$-x^2 - 2x + k = 0$、つまり $x^2 + 2x - k = 0$。

判別式 $D = 2^2 - 4(1)(-k) = 4 + 4k$。

x軸と2点で交わるためには $D > 0$ でなければならないので、$4 + 4k > 0$。

$4k > -4$

$k > -1$

(2) $y = x^2 - (k + 1)x + 1$ の場合

$y = 0$ とおくと、$x^2 - (k + 1)x + 1 = 0$。

判別式 $D = (-(k + 1))^2 - 4(1)(1) = (k + 1)^2 - 4 = k^2 + 2k + 1 - 4 = k^2 + 2k - 3$。

x軸に接するためには $D = 0$ でなければならないので、$k^2 + 2k - 3 = 0$。

$(k + 3)(k - 1) = 0$

$k = -3, 1$

(3) $y = 2(x - 1)^2 - k$ の場合

$y = 0$ とおくと、$2(x - 1)^2 - k = 0$。

$2(x^2 - 2x + 1) - k = 0$

$2x^2 - 4x + 2 - k = 0$

判別式 $D = (-4)^2 - 4(2)(2 - k) = 16 - 16 + 8k = 8k$

x軸と共有点をもたないためには $D < 0$ でなければならないので、$8k < 0$。

$k < 0$

3. 最終的な答え

(1) $k > -1$

(2) $k = -3, 1$

(3) $k < 0$