$x$ についての方程式 $||x-3|-2| = a$ が異なる4つの解をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ についての方程式 $||x-3|-2| = a$ が異なる4つの解をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = ||x-3|-2|$ のグラフを描きます。

これは、$y=|x|$ のグラフを $x$ 軸方向に 3 だけ平行移動した $y=|x-3|$ のグラフを考え、次に $y=|x-3|$ のグラフを $y$ 軸方向に -2 だけ平行移動した $y=|x-3|-2$ のグラフを考えます。最後に、$y=|x-3|-2$ のグラフの $y$ 座標が負の部分を $x$ 軸に関して折り返したグラフが、$y = ||x-3|-2|$ のグラフです。

グラフを描くと、$y=||x-3|-2|$ は $x=3$ に関して対称であり、頂点の座標は $(3, 0)$ です。また、 $|x-3|-2 = 0$ を解くと、$|x-3| = 2$ より $x-3 = \pm 2$ なので、$x = 1, 5$ となります。したがって、$y=||x-3|-2|$ のグラフと $x$ 軸との交点の座標は $(1, 0)$ と $(5, 0)$ です。さらに、$x=3$ のとき、 $|x-3|-2=-2$ なので、$||x-3|-2|=|-2|=2$となり、$y=||x-3|-2|$ のグラフの $y$ 切片は 2 であり、$y=||x-3|-2|$ のグラフの最小値は 0 となります。

方程式 $||x-3|-2| = a$ が異なる4つの解をもつためには、$y=||x-3|-2|$ のグラフと $y=a$ のグラフが4つの交点を持たなければなりません。したがって、$0 < a < 2$ である必要があります。

3. 最終的な答え

$0 < a < 2$