行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、${}^t(AB)$, ${}^t(BA)$, ${}^tA {}^tB$, ${}^tB {}^tA$ を計算する。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、${}^t(AB)$, ${}^t(BA)$, ${}^tA {}^tB$, ${}^tB {}^tA$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$AB$ と $BA$ を計算する。

次に、行列の転置行列 ${}^tA$ と ${}^tB$ を計算する。

その後、${}^t(AB)$, ${}^t(BA)$, ${}^tA {}^tB$, ${}^tB {}^tA$ を計算する。

転置行列の性質として、${}^t(AB) = {}^tB {}^tA$ と ${}^t(BA) = {}^tA {}^tB$ が成り立つことを確認する。

(1) $AB$ の計算:

$AB = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4(-2) + (-2)(1) & 4(3) + (-2)(4) \\ 0(-2) + 3(1) & 0(3) + 3(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 - 2 & 12 - 8 \\ 0 + 3 & 0 + 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 4 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}$

(2) $BA$ の計算:

$BA = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2(4) + 3(0) & -2(-2) + 3(3) \\ 1(4) + 4(0) & 1(-2) + 4(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 + 0 & 4 + 9 \\ 4 + 0 & -2 + 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 13 \\ 4 & 10 \end{pmatrix}$

(3) ${}^t(AB)$ の計算:

${}^t(AB) = {}^t \begin{pmatrix} -10 & 4 \\ 3 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 3 \\ 4 & 12 \end{pmatrix}$

(4) ${}^t(BA)$ の計算:

${}^t(BA) = {}^t \begin{pmatrix} -8 & 13 \\ 4 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 4 \\ 13 & 10 \end{pmatrix}$

(5) ${}^tA$ の計算:

${}^tA = {}^t \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

(6) ${}^tB$ の計算:

${}^tB = {}^t \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

(7) ${}^tA {}^tB$ の計算:

${}^tA {}^tB = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4(-2) + 0(3) & 4(1) + 0(4) \\ -2(-2) + 3(3) & -2(1) + 3(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 9 & -2 + 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 4 \\ 13 & 10 \end{pmatrix}$

(8) ${}^tB {}^tA$ の計算:

${}^tB {}^tA = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2(4) + 1(-2) & -2(0) + 1(3) \\ 3(4) + 4(-2) & 3(0) + 4(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 - 2 & 0 + 3 \\ 12 - 8 & 0 + 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 3 \\ 4 & 12 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

${}^t(AB) = \begin{pmatrix} -10 & 3 \\ 4 & 12 \end{pmatrix}$

${}^t(BA) = \begin{pmatrix} -8 & 4 \\ 13 & 10 \end{pmatrix}$

${}^tA {}^tB = \begin{pmatrix} -8 & 4 \\ 13 & 10 \end{pmatrix}$

${}^tB {}^tA = \begin{pmatrix} -10 & 3 \\ 4 & 12 \end{pmatrix}$