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画像には3つの問題があります。 * **問題1**: 項数12、初項8、末項40の等差数列の和を求める。 * **問題2**: 等比数列 $-10, -5, -\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \dots$ の第 $n$ 項までの和を求める。 * **問題3**: 数列 $1 + 2 + 3 + \dots + n$ の和を自然数 $n$ の式で表す。

代数学数列等差数列等比数列数列の和
2025/7/23

1. 問題の内容

画像には3つの問題があります。
* **問題1**: 項数12、初項8、末項40の等差数列の和を求める。
* **問題2**: 等比数列 −10,−5,−52,54,…-10, -5, -\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \dots の第 nn 項までの和を求める。
* **問題3**: 数列 1+2+3+⋯+n1 + 2 + 3 + \dots + n の和を自然数 nn の式で表す。

2. 解き方の手順

**問題1：等差数列の和**
等差数列の和の公式は、
Sn=n(a1+an)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}
ここで、nn は項数、a1a_1 は初項、ana_n は末項です。
この問題では、n=12n = 12, a1=8a_1 = 8, a12=40a_{12} = 40 なので、
S12=12(8+40)2=12×482=6×48=288S_{12} = \frac{12(8 + 40)}{2} = \frac{12 \times 48}{2} = 6 \times 48 = 288
**問題2：等比数列の和**
等比数列の和の公式は、
Sn=a1(1−rn)1−rS_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}
ここで、a1a_1 は初項、rr は公比、nn は項数です。
この問題では、a1=−10a_1 = -10 であり、公比 rr は −5−10=12\frac{-5}{-10} = \frac{1}{2} です。したがって、
Sn=−10(1−(12)n)1−12=−10(1−(12)n)12=−20(1−(12)n)=−20+20(12)n=−20+202n=−20(1−12n)=−20(2n−12n)S_n = \frac{-10(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-10(1 - (\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}} = -20(1 - (\frac{1}{2})^n) = -20 + 20(\frac{1}{2})^n = -20 + \frac{20}{2^n} = -20(1 - \frac{1}{2^n}) = -20(\frac{2^n - 1}{2^n})
選択肢にあるのは、−20(2−n−1)-20(2^{-n}-1)または −20(1−2−n)-20(1-2^{-n})です。
これは、Sn=−10(1−(12)n)12=−20(1−(12)n)=−20(1−2−n)=−20+20×2−n=−20+202nS_n = \frac{-10(1 - (\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}} = -20(1 - (\frac{1}{2})^n) = -20(1 - 2^{-n}) = -20 + 20 \times 2^{-n} = -20 + \frac{20}{2^n}.　ただし、選択肢は 20(2n−1)20(2^n - 1)または −20(2n−1)-20(2^n - 1)または 10(2n−1)10(2^n - 1)または −10(2n−1)-10(2^n - 1)。
計算が間違っていた。
もう一度計算をやり直します。
Sn=−10(1−(12)n)1−12=−10(1−12n)12=−20(1−12n)=−20+202nS_n = \frac{-10(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-10(1 - \frac{1}{2^n})}{\frac{1}{2}} = -20(1 - \frac{1}{2^n}) = -20 + \frac{20}{2^n}.
正しくは,
Sn=a1(1−rn)1−r=−10(1−(12)n)12=−20(1−12n)=−20(2n−12n)S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}= \frac{-10(1-(\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}} = -20(1-\frac{1}{2^n})= -20(\frac{2^n-1}{2^n})
選択肢の中には2n−12^n-1しか入ってないので、もう一度確認する.
Sn=a(1−rn)1−r=−10(1−(12)n)12=−20(1−12n)=−202n−12nS_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{-10(1-(\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}} = -20(1-\frac{1}{2^n}) = -20\frac{2^n-1}{2^n}
最初の数列が-10, -5,...なので、r = 1/2ですね.
しかし、別の解き方を試すこともできます。第n項は an=arn−1a_n = ar^{n-1}です.
Sn=a(1−rn)1−rS_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}なのでSn=−10(1−(12)n)1/2=−20(1−(12)n)=−20+20×(12)nS_n= \frac{-10(1-(\frac{1}{2})^n)}{1/2}= -20(1-(\frac{1}{2})^n) = -20+20 \times (\frac{1}{2})^n.
Sn=a1(1−rn)1−r=a1−a1rn1−r=−10−(−10)(12)n12=−20+202nS_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} = \frac{a_1 - a_1r^n}{1-r} = \frac{-10 -(-10)(\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} = -20 + \frac{20}{2^n}
もう一度確認してみるとSn=a1(1−rn)1−r=−10(1−(12)n)1−12=−10(1−(12)n)12=−20(1−(12)n)S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} = \frac{-10(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} = \frac{-10(1-(\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}}= -20(1-(\frac{1}{2})^n)
**問題3：自然数の和**
1+2+3+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}

3. 最終的な答え

* **問題1**: 288
* **問題2**: −20(1−12n)=−20(2n−12n)-20(1-\frac{1}{2^n}) = -20(\frac{2^n-1}{2^n})もしくは選択肢から判断すると-20(2^(-n)-1)
* **問題3**: n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}

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