第3項が1、第15項が25である等差数列の初項 $a$ と公差 $d$ 、および第25項 $a_{25}$ を求めなさい。

1. 問題の内容

第3項が1、第15項が25である等差数列の初項 $a$ と公差 $d$ 、および第25項 $a_{25}$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

等差数列の第 $n$ 項は、初項を $a$ 、公差を $d$ とすると、 $a_n = a + (n-1)d$ と表される。

問題文より、第3項が1、第15項が25なので、

$a_3 = a + 2d = 1$

$a_{15} = a + 14d = 25$

この2つの式を連立方程式として解く。

2つ目の式から1つ目の式を引くと、

$(a + 14d) - (a + 2d) = 25 - 1$

$12d = 24$

$d = 2$

これを $a + 2d = 1$ に代入すると、

$a + 2(2) = 1$

$a + 4 = 1$

$a = -3$

したがって、初項 $a = -3$、公差 $d = 2$ である。

第25項 $a_{25}$ は、 $a_{25} = a + 24d = -3 + 24(2) = -3 + 48 = 45$

したがって、第25項 $a_{25} = 45$ である。

3. 最終的な答え

$a = -3$, $d = 2$, $a_{25} = 45$