等比数列 $10, -5, \frac{5}{2}, -\frac{5}{4}, \dots$ の初項から第$n$項までの和を求める問題と、数列 $1+2+3+\dots+n$ の和を求める問題の2つがあります。

1. 問題の内容

等比数列 $10, -5, \frac{5}{2}, -\frac{5}{4}, \dots$ の初項から第$n$項までの和を求める問題と、数列 $1+2+3+\dots+n$ の和を求める問題の2つがあります。

2. 解き方の手順

最初の等比数列の問題：

等比数列の和の公式は、初項を$a$、公比を$r$、項数を$n$とすると、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

で与えられます。

この数列では、初項 $a = 10$、公比 $r = -\frac{1}{2}$ です。

したがって、第 $n$ 項までの和は、

$S_n = \frac{10(1-(-\frac{1}{2})^n)}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{10(1-(-\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}} = \frac{20}{3} (1-(-\frac{1}{2})^n)$

となります。

選択肢にある形に近づけるために、式変形を行います。

$S_n = \frac{20}{3} \left(1 - \frac{(-1)^n}{2^n} \right) = \frac{20}{3} - \frac{20(-1)^n}{3 \cdot 2^n}$

これは選択肢にありません。選択肢にあるものを確認します。

選択肢には $2^n$ のみがあるため、$r = -\frac{1}{2}$ を代入した元の式を見直します。

$S_n = \frac{10(1-(-\frac{1}{2})^n)}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{10(1-(-\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}} = \frac{20}{3} (1-(-\frac{1}{2})^n)$

ここで、問題文の指示に誤りがある可能性を考慮し、選択肢の中から近いものを選びます。

選択肢の形から、 $(-1/2)^n$ の部分を無視して、$10\frac{1-(-1/2)^n}{3/2} \approx 10\frac{1-(0)}{3/2}=10\times \frac{2}{3} = \frac{20}{3}$

選択肢にある形として、$r=-\frac{1}{2}$を代入する前の式

$S_n = \frac{10(1-(-\frac{1}{2})^n)}{1-(-\frac{1}{2})}$ を利用して

$r=-\frac{1}{2}$を代入する前の等比数列の和の公式

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を利用すると、

$S_n = \frac{10(1-(-\frac{1}{2})^n)}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{10(1-(-\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}} = \frac{20}{3}(1-(-\frac{1}{2})^n)$ となり

$20(2^{-n}-1)$のような形にはならないと考えられます。

次に数列 $1+2+3+\dots+n$ の問題：

これは等差数列の和であり、

$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ で求められます。

3. 最終的な答え

最初の等比数列の問題：選択肢の中に正確な答えがないため、最も近いと思われるものは選択できません。

数列 $1+2+3+\dots+n$ の問題：$\frac{n(n+1)}{2}$