与えられた数列に関するいくつかの問題を解きます。具体的には、等差数列と等比数列の和の計算、数列の和から一般項の導出、階差数列を利用した一般項の導出、そして数列の漸化式の表現を行います。

1. 問題の内容

与えられた数列に関するいくつかの問題を解きます。具体的には、等差数列と等比数列の和の計算、数列の和から一般項の導出、階差数列を利用した一般項の導出、そして数列の漸化式の表現を行います。

2. 解き方の手順

3.(1) 初項 $a=2$, 公差 $d=3$, 項数 $n=8$ の等差数列の和 $S_n$ を求める。

等差数列の和の公式は $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ である。

これに $a=2$, $d=3$, $n=8$ を代入すると、

$S_8 = \frac{8}{2}[2(2) + (8-1)(3)] = 4[4 + 7(3)] = 4[4+21] = 4(25) = 100$

3.(2) 初項 $a=1$, 公比 $r=2$, 項数 $n=7$ の等比数列の和 $S_n$ を求める。

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ である。

これに $a=1$, $r=2$, $n=7$ を代入すると、

$S_7 = \frac{1(2^7 - 1)}{2-1} = \frac{1(128-1)}{1} = 127$

4.(1) $S_n = n^2 + 2n$ で与えられる数列の一般項 $a_n$ を求める。

$a_n = S_n - S_{n-1}$ (ただし、$n \ge 2$) を利用する。

$S_n = n^2 + 2n$ より、

$S_{n-1} = (n-1)^2 + 2(n-1) = n^2 - 2n + 1 + 2n - 2 = n^2 - 1$

よって、 $a_n = (n^2 + 2n) - (n^2 - 1) = n^2 + 2n - n^2 + 1 = 2n + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) = 3$

$a_n = 2n+1$ に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 2(1)+1 = 3$ となり、$n=1$ でも成り立つ。

4.(2) $S_n = 3^n - 1$ で与えられる数列の一般項 $a_n$ を求める。

$a_n = S_n - S_{n-1}$ (ただし、$n \ge 2$) を利用する。

$S_n = 3^n - 1$ より、

$S_{n-1} = 3^{n-1} - 1$

よって、$a_n = (3^n - 1) - (3^{n-1} - 1) = 3^n - 3^{n-1} = 3^{n-1}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{n-1}$

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 3^1 - 1 = 2$

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 2 \cdot 3^0 = 2$ となり、$n=1$ でも成り立つ。

5.(1) 4, 5, 9, 16, 26, 39, ... の一般項 $a_n$ を階差数列を利用して求める。

階差数列を $b_n$ とすると、$b_n = 1, 4, 7, 10, 13, ...$ となる。これは初項 1, 公差 3 の等差数列なので、

$b_n = 1 + (n-1)3 = 3n - 2$

したがって、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 2) = 4 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k - 2\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 4 + 3\frac{(n-1)n}{2} - 2(n-1) = 4 + \frac{3n^2 - 3n}{2} - 2n + 2 = 6 + \frac{3n^2 - 3n - 4n}{2} = \frac{12 + 3n^2 - 7n}{2} = \frac{3n^2 - 7n + 12}{2}$

5.(2) 1, 4, 10, 22, 46, 94, ... の一般項 $a_n$ を階差数列を利用して求める。

階差数列を $b_n$ とすると、$b_n = 3, 6, 12, 24, 48, ...$ となる。これは初項 3, 公比 2 の等比数列なので、

$b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

したがって、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{k-1} = 1 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

$= 1 + 3 \cdot \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 1 + 3(2^{n-1} - 1) = 1 + 3 \cdot 2^{n-1} - 3 = 3 \cdot 2^{n-1} - 2$

6.(1) 初項 4, 公差 7 の等差数列の漸化式を求める。

$a_1 = 4$

$a_{n+1} = a_n + 7$

6.(2) 初項 5, 公比 10 の等比数列の漸化式を求める。

$a_1 = 5$

$a_{n+1} = 10 a_n$

3. 最終的な答え

3.(1) 100

3.(2) 127

4.(1) $a_n = 2n+1$

4.(2) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

5.(1) $a_n = \frac{3n^2 - 7n + 12}{2}$

5.(2) $a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 2$

6.(1) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = a_n + 7$

6.(2) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 10 a_n$