行列 $P$ と $Q$ が与えられたとき、以下の行列式の値を計算する問題です。 (1) $|P|$ (2) $|Q|$ (3) $|-2P|$ (4) $|^tPP^2QP^{-1}|$

1. 問題の内容

行列 $P$ と $Q$ が与えられたとき、以下の行列式の値を計算する問題です。

(1) $|P|$

(2) $|Q|$

(3) $|-2P|$

(4) $|^tPP^2QP^{-1}|$

2. 解き方の手順

(1) $|P|$ の計算

$P = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -1 & 5 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。

第3列で展開すると、

$|P| = 0 \cdot C_{13} + 3 \cdot C_{23} + 0 \cdot C_{33} = 3 \cdot C_{23} = 3 \cdot (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = -3(1 \cdot 2 - (-2) \cdot 4) = -3(2+8) = -30$

(2) $|Q|$ の計算

$Q = \begin{pmatrix} 5 & -5 & 5 \\ 4 & -7 & 0 \\ 3 & -1 & 7 \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。

$|Q| = 5 \begin{vmatrix} -7 & 0 \\ -1 & 7 \end{vmatrix} - (-5) \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 4 & -7 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 5(-49) + 5(28) + 5(-4+21) = -245 + 140 + 85 = -20$

(3) $|-2P|$ の計算

$|-2P| = (-2)^3 |P| = -8 |P| = -8(-30) = 240$

(4) $|^tPP^2QP^{-1}|$ の計算

$|^tPP^2QP^{-1}| = |^tP| |P^2| |Q| |P^{-1}| = |P| |P|^2 |Q| \frac{1}{|P|} = |P|^2 |Q| = (-30)^2 (-20) = 900(-20) = -18000$

3. 最終的な答え

(1) $|P| = -30$

(2) $|Q| = -20$

(3) $|-2P| = 240$

(4) $|^tPP^2QP^{-1}| = -18000$