4次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -8 & 9 \\ 2 & 0 & 6 & -3 \\ 3 & -1 & 4 & -2 \\ -7 & 3 & -9 & 6 \end{pmatrix}$ の行列式 $|A|$ の値を求めます。

1. 問題の内容

4次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -8 & 9 \\ 2 & 0 & 6 & -3 \\ 3 & -1 & 4 & -2 \\ -7 & 3 & -9 & 6 \end{pmatrix}$ の行列式 $|A|$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

行列式を計算するにあたり、まずは行または列に関する基本変形を用いて、計算を簡略化します。

まず2行目を2で割ると、

$A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -8 & 9 \\ 1 & 0 & 3 & -3/2 \\ 3 & -1 & 4 & -2 \\ -7 & 3 & -9 & 6 \end{pmatrix}$

次に2行目を基準に、1行目を$R_1 \to R_1 - 4R_2$、3行目を$R_3 \to R_3 - 3R_2$、4行目を$R_4 \to R_4 + 7R_2$とすると、

$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -20 & 15 \\ 1 & 0 & 3 & -3/2 \\ 0 & -1 & -5 & 5/2 \\ 0 & 3 & 12 & -9/2 \end{pmatrix}$

次に1列目を基準に、行と列を入れ替えることを繰り返して計算を進めます。2列目と1列目を入れ替えると、

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -20 & 15 \\ 0 & 1 & 3 & -3/2 \\ -1 & 0 & -5 & 5/2 \\ 3 & 0 & 12 & -9/2 \end{pmatrix}$

行列式は符号が変わるため、$-|A|$となります。

次に2行目を基準に、計算を進めます。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -20 & 15 \\ 0 & 1 & 3 & -3/2 \\ -1 & 0 & -5 & 5/2 \\ 3 & 0 & 12 & -9/2 \end{pmatrix}$

次に2列目を基準に展開すると、

$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -20 & 15 \\ -1 & -5 & 5/2 \\ 3 & 12 & -9/2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} -5 & 5/2 \\ 12 & -9/2 \end{vmatrix} - (-20) \begin{vmatrix} -1 & 5/2 \\ 3 & -9/2 \end{vmatrix} + 15 \begin{vmatrix} -1 & -5 \\ 3 & 12 \end{vmatrix}$

$= 2(45/2 - 60/2) + 20(9/2 - 15/2) + 15(-12 + 15) = 2(-15/2) + 20(-6/2) + 15(3) = -15 - 60 + 45 = -30$

先程の符号を考慮すると、$|A| = - (-30) = 30$。

3. 最終的な答え

30