問題は以下の2つです。 (1) 与えられた等比数列の一般項 $a_n$ を求める問題が2つ。 (2) 与えられた数列の和を求める問題が2つ。ただし、$\Sigma$ 記号で表されている。

はい、承知しました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) 与えられた等比数列の一般項 $a_n$ を求める問題が2つ。

(2) 与えられた数列の和を求める問題が2つ。ただし、$\Sigma$ 記号で表されている。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の一般項を求める

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数です。

問1：1, -2, 4, -8, ...

初項 $a_1 = 1$

公比 $r = -2$

よって、一般項 $a_n = 1 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^{n-1}$

問2：3, 6, 12, 24, ...

初項 $a_1 = 3$

公比 $r = 2$

よって、一般項 $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

(2) 数列の和を求める

問1：$\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$

これは初項1、公比3の等比数列の第n項までの和です。

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r-1}$ を用います。

$S_n = \frac{1(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 1}{2}$

問2：$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^{k-1}$

これは初項2、公比3の等比数列の第n項までの和です。

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r-1}$ を用います。

$S_n = \frac{2(3^n - 1)}{3-1} = \frac{2(3^n - 1)}{2} = 3^n - 1$

3. 最終的な答え

(1) 等比数列の一般項

問1: $a_n = (-2)^{n-1}$

問2: $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

(2) 数列の和

問1: $\frac{3^n - 1}{2}$

問2: $3^n - 1$