不等式 $\frac{1}{x-1} < x - 1$ を解け。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{1}{x-1} < x - 1$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、$x - 1$ が正の場合と負の場合で場合分けを行います。

(i) $x - 1 > 0$ つまり $x > 1$ のとき、不等式の両辺に $x - 1$ を掛けても不等号の向きは変わりません。

$$1 < (x-1)^2$$

$$(x-1)^2 > 1$$

$$x^2 - 2x + 1 > 1$$

$$x^2 - 2x > 0$$

$$x(x - 2) > 0$$

よって、$x < 0$ または $x > 2$ となります。

$x > 1$ の条件下では、$x > 2$ が解となります。

(ii) $x - 1 < 0$ つまり $x < 1$ のとき、不等式の両辺に $x - 1$ を掛けると不等号の向きが変わります。

$$1 > (x - 1)^2$$

$$(x - 1)^2 < 1$$

$$x^2 - 2x + 1 < 1$$

$$x^2 - 2x < 0$$

$$x(x - 2) < 0$$

よって、$0 < x < 2$ となります。

$x < 1$ の条件下では、$0 < x < 1$ が解となります。

$x = 1$ の場合は $\frac{1}{x-1}$ が定義されないため、考慮する必要はありません。

(i), (ii) より、解は $x > 2$ または $0 < x < 1$ です。

3. 最終的な答え

$0 < x < 1$ または $x > 2$