問題は以下の通りです。 (1) 指数関数 $y = 2^x$ のグラフの特徴を表す説明を選ぶ問題。 (2) 対数関数 $y = \log_2 x$ のグラフの特徴を表す説明を選ぶ問題。 (3) 対数関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ のグラフの特徴を表す説明を選ぶ問題。 (4) 指数関数 $y = (\frac{1}{2})^x$ のグラフを選ぶ問題。 (5) 指数関数 $y = 2^x$ および $y = (\frac{1}{2})^x$ のグラフの交点の座標を求める問題。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) 指数関数 $y = 2^x$ のグラフの特徴を表す説明を選ぶ問題。

(2) 対数関数 $y = \log_2 x$ のグラフの特徴を表す説明を選ぶ問題。

(3) 対数関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ のグラフの特徴を表す説明を選ぶ問題。

(4) 指数関数 $y = (\frac{1}{2})^x$ のグラフを選ぶ問題。

(5) 指数関数 $y = 2^x$ および $y = (\frac{1}{2})^x$ のグラフの交点の座標を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2^x$のグラフは、$x$が大きくなるほど$y$も大きくなり、$x$が小さくなるほど$y$は0に近づく。よって、グラフは $x \to +\infty$ で $y \to +\infty$ であり、$y$軸に漸近するわけではないので、選択肢 2 が該当する。

(2) $y = \log_2 x$のグラフは、$x$が大きくなるほど$y$も大きくなり、$x$が0に近づくほど$y$は$-\infty$に近づく。よって、グラフは $x \to +\infty$ で $y \to +\infty$ であり、$x$軸に漸近するわけではない。選択肢 3 は、$x$の値がどんどん大きくなる ($x \to +\infty$) と、$x$軸に漸近すると記述しているので、誤りである。グラフは$y$軸に漸近する。正しい選択肢は存在しないように見えるが、グラフの特徴として、$x$が大きくなると$y$も大きくなるという点は正しいため、最も近い選択肢は3であると考えられる。

(3) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$のグラフは、$x$が大きくなるほど$y$は小さくなり、$x$が0に近づくほど$y$は$\infty$に近づく。よって、グラフは $x \to +\infty$ で $y \to -\infty$ であり、$y$軸に漸近する。したがって、選択肢 1 が該当する。

(4) $y = (\frac{1}{2})^x$のグラフは、単調減少であり、$x$が大きくなるほど$y$は0に近づく。$y$切片は1である。選択肢の中から、これに該当するグラフは「ウ」である。

(5) $y = 2^x$ と $y = (\frac{1}{2})^x$ の交点の座標を求める。$2^x = (\frac{1}{2})^x$ を解く。

$2^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$

$2^x = 2^{-x}$

$x = -x$

$2x = 0$

$x = 0$

$x = 0$のとき、$y = 2^0 = 1$。

したがって、交点の座標は (0, 1) である。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 3

(3) 1

(4) 2

(5) 4