関数 $f(x) = \frac{2}{x}$ と $g(x) = 3x^2 + 1$ が与えられています。合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2}{x}$ と $g(x) = 3x^2 + 1$ が与えられています。合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(g \circ f)(x)$ を求めます。これは $g(f(x))$ を意味します。

$f(x) = \frac{2}{x}$ を $g(x)$ に代入します。

$g(f(x)) = g\left(\frac{2}{x}\right) = 3\left(\frac{2}{x}\right)^2 + 1 = 3\left(\frac{4}{x^2}\right) + 1 = \frac{12}{x^2} + 1$

次に、$(f \circ g)(x)$ を求めます。これは $f(g(x))$ を意味します。

$g(x) = 3x^2 + 1$ を $f(x)$ に代入します。

$f(g(x)) = f(3x^2 + 1) = \frac{2}{3x^2 + 1}$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = \frac{12}{x^2} + 1$

$(f \circ g)(x) = \frac{2}{3x^2 + 1}$