関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ と $g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ が与えられているとき、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ と $g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ が与えられているとき、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(g \circ f)(x)$ を計算します。これは $g(f(x))$ を意味するので、$g(x)$ の $x$ に $f(x)$ を代入します。

$g(f(x)) = \frac{f(x)+1}{f(x)-2}$

$f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ を代入すると、

$g(f(x)) = \frac{\frac{2x+1}{x-1}+1}{\frac{2x+1}{x-1}-2}$

分母と分子に $x-1$ を掛けて整理します。

$g(f(x)) = \frac{(2x+1)+(x-1)}{(2x+1)-2(x-1)}$

$g(f(x)) = \frac{3x}{3}$

$g(f(x)) = x$

次に、$(f \circ g)(x)$ を計算します。これは $f(g(x))$ を意味するので、$f(x)$ の $x$ に $g(x)$ を代入します。

$f(g(x)) = \frac{2g(x)+1}{g(x)-1}$

$g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ を代入すると、

$f(g(x)) = \frac{2(\frac{x+1}{x-2})+1}{\frac{x+1}{x-2}-1}$

分母と分子に $x-2$ を掛けて整理します。

$f(g(x)) = \frac{2(x+1)+(x-2)}{(x+1)-(x-2)}$

$f(g(x)) = \frac{2x+2+x-2}{x+1-x+2}$

$f(g(x)) = \frac{3x}{3}$

$f(g(x)) = x$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = x$

$(f \circ g)(x) = x$