2次関数 $y = -3x^2 + kx + k$ のグラフが常にx軸より下方にあるような、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -3x^2 + kx + k$ のグラフが常にx軸より下方にあるような、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

グラフが常にx軸より下方にあるということは、上に凸の放物線である必要があり、かつx軸と交わらない（共有点を持たない）必要があります。

2次関数の係数が負であることから、上に凸であることは既に満たされています。

したがって、判別式 $D$ が負になる条件を求めます。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ であり、この問題では $a = -3$, $b = k$, $c = k$ です。

$D = k^2 - 4(-3)(k) = k^2 + 12k$

$D < 0$ となる $k$ の範囲を求めるので、

$k^2 + 12k < 0$

$k(k + 12) < 0$

これを解くと、 $-12 < k < 0$ となります。

3. 最終的な答え

$-12 < k < 0$