2つの関数 $f(x) = 2x - 1$ と $g(x) = ax + b$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = 4x + 5$ が成り立つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2つの関数 $f(x) = 2x - 1$ と $g(x) = ax + b$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = 4x + 5$ が成り立つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数 $(g \circ f)(x)$ を計算します。

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ ですから、$g(x)$ の $x$ に $f(x)$ を代入します。

$g(f(x)) = a(f(x)) + b = a(2x - 1) + b$ となります。

これを展開すると、$2ax - a + b$ となります。

問題文より $(g \circ f)(x) = 4x + 5$ ですから、$2ax - a + b = 4x + 5$ が成り立ちます。

この式がすべての $x$ について成り立つためには、

$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

したがって、$2a = 4$ と $-a + b = 5$ という2つの式が得られます。

$2a = 4$ より $a = 2$ となります。

これを $-a + b = 5$ に代入すると、 $-2 + b = 5$ となり、$b = 7$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 7$