関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、$(f \circ f)(x) = f(x)$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、$(f \circ f)(x) = f(x)$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$(f \circ f)(x)$ を計算します。

$f(f(x)) = f\left(\frac{3x+2}{x+a}\right) = \frac{3\left(\frac{3x+2}{x+a}\right)+2}{\left(\frac{3x+2}{x+a}\right)+a}$

分母分子に $(x+a)$ をかけると、

$f(f(x)) = \frac{3(3x+2)+2(x+a)}{3x+2+a(x+a)} = \frac{9x+6+2x+2a}{3x+2+ax+a^2} = \frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2}$

$(f \circ f)(x) = f(x)$ より、

$\frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2} = \frac{3x+2}{x+a}$

両辺の分子と分母をそれぞれ比較します。ただし、比率が同じになる場合も考慮します。

$\frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2} = k \cdot \frac{3x+2}{x+a}$

となる定数$k$が存在すると仮定して、比較してみます。

分母を比較して、$k=3+a$と仮定してみると

$(3+a)(x+a) = (3+a)x+2+a^2$ となるので、$3a+a^2=2+a^2$,　$3a=2$,　$a=\frac{2}{3}$

分子を比較すると$11=k\cdot 3, 6+2a=k\cdot 2$となり、

$11=(3+a)\cdot 3$, $6+2a=(3+a)\cdot 2$

$11=9+3a$, $6+2a=6+2a$

$2=3a$, $a=\frac{2}{3}$

または、$f(x)=x$となる場合を考えます。

$\frac{3x+2}{x+a}=x$

$3x+2 = x(x+a)$

$3x+2 = x^2+ax$

$x^2 + (a-3)x - 2 = 0$

任意の $x$ に対してこの式が成り立つためには、$x^2, x$ の係数および定数項がすべて0でなければならないが、定数項が-2であるため、$f(x)=x$となることはありません。

ここで、$a=-2$を代入すると、

$f(x)=\frac{3x+2}{x-2}$

$f(f(x)) = \frac{11x+6+2(-2)}{(3+(-2))x+2+(-2)^2} = \frac{11x+2}{x+6}$

これは $f(x)$ とは一致しないので、$a \neq -2$です。

もし、$f(x)$が恒等写像ならば、$a=-1$となる。

$\frac{3x+2}{x-1} = x$

しかしこれは恒等写像とならないため、これも誤りです。

$a=-1$のとき，$f(x)=\frac{3x+2}{x-1}$。これは恒等写像にはならない。

次に、$f(f(x)) = f(x)$ が成り立つための条件を探します。

$\frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2} = \frac{3x+2}{x+a}$

$(11x+6+2a)(x+a) = (3x+2)((3+a)x+2+a^2)$

$11x^2+11ax+6x+6a+2ax+2a^2 = 9x^2+3ax+6x+4+3ax^2+a^3x+2ax+2a^2$

$11x^2+(13a+6)x+6a+2a^2 = (9+3a)x^2+(6a+6+a^3)x+4+2a^2$

$11=9+3a$, $13a+6=6a+6+a^3$, $6a+2a^2=4+2a^2$

$3a=2$, $7a=a^3$, $6a=4$

$a=\frac{2}{3}$, $a^2=7$, $a=\frac{2}{3}$

$a=\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{2}{3}$