関数 $f(x) = \frac{bx-3}{x+a}$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(1) = 2$ と $f^{-1}(3) = 0$ のとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{bx-3}{x+a}$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(1) = 2$ と $f^{-1}(3) = 0$ のとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$f^{-1}(1) = 2$ より、$f(2) = 1$ が成り立つ。これを $f(x)$ に代入すると、

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\frac{2b-3}{2+a} = 1

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したがって、

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2b-3 = 2+a

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a = 2b-5 \hspace{20pt} (1)

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同様に、$f^{-1}(3) = 0$ より、$f(0) = 3$ が成り立つ。これを $f(x)$ に代入すると、

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\frac{b \cdot 0 - 3}{0+a} = 3

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\frac{-3}{a} = 3

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したがって、

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a = -1 \hspace{20pt} (2)

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(1)と(2)より、$a = -1$ なので、

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-1 = 2b-5

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2b = 4

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b = 2

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3. 最終的な答え

$a = -1$, $b = 2$