定理3.2.3とその証明の一部が示されています。 (1) 2つの行を入れ替えると行列式は-1倍になることを示しています。 (2) 2つの行が等しい行列の行列式は0であることを示唆しています。

1. 問題の内容

定理3.2.3とその証明の一部が示されています。

(1) 2つの行を入れ替えると行列式は-1倍になることを示しています。

(2) 2つの行が等しい行列の行列式は0であることを示唆しています。

2. 解き方の手順

(1)の問題は行列の$i$行と$j$行を入れ替えたとき、行列式が-1倍になることを示しています。与えられた行列の行列式を計算することを考えます。行列式は、置換$\sigma$に関する項の和として表されます。$i$行と$j$行を入れ替えることは、置換を入れ替えることに対応し、行列式の符号を反転させます。

(2)の問題は、2つの行が等しい場合、行列式が0になることを示唆しています。これは、$i$行と$j$行が等しい場合、行列を入れ替えても行列は変わらないが、行列式の符号は反転するため、行列式は0でなければならないという事実から導かれます。

3. 最終的な答え

(1) 2つの行を入れ替えると行列式は-1倍になる。

(2) 2つの行が等しい行列の行列式は0である。