関数 $y = -4x^2$ において、$x$ の値が $a$ から $a+3$ まで増加するときの変化の割合が $-\frac{4}{3}$ である。このとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -4x^2$ において、$x$ の値が $a$ から $a+3$ まで増加するときの変化の割合が $-\frac{4}{3}$ である。このとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

変化の割合は、$\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で計算される。

まず、$x$ が $a$ から $a+3$ まで変化するときの $y$ の値をそれぞれ求める。

$x = a$ のとき、$y = -4a^2$

$x = a+3$ のとき、$y = -4(a+3)^2$

$x$ の増加量は $(a+3) - a = 3$ である。

$y$ の増加量は $-4(a+3)^2 - (-4a^2) = -4(a^2 + 6a + 9) + 4a^2 = -4a^2 - 24a - 36 + 4a^2 = -24a - 36$ である。

変化の割合は、

$\frac{-24a - 36}{3}$

問題文より、変化の割合が $-\frac{4}{3}$ なので、

$\frac{-24a - 36}{3} = -\frac{4}{3}$

両辺に3をかけると、

$-24a - 36 = -4$

$-24a = 32$

$a = -\frac{32}{24} = -\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{4}{3}$