与えられた問題は3つの部分から構成されています。 1. 関数 $y = \log_3 x$ の定義域が $\frac{1}{27} < x \le \sqrt{9}$ であるとき、値域を求めます。

1. 問題の内容

与えられた問題は3つの部分から構成されています。

1. 関数 $y = \log_3 x$ の定義域が $\frac{1}{27} < x \le \sqrt{9}$ であるとき、値域を求めます。

2. 次の2つの方程式を解きます。

(1) $\log_3(4x - 3) = 3$

(2) $\log_2(3x + 3) = \log_2(x^2 - 6x - 7)$

3. 不等式 $\log_2(-2x + 1) \le 3$ の解を求めます。

2. 解き方の手順

1. 関数 $y = \log_3 x$ の定義域が $\frac{1}{27} < x \le \sqrt{9}$ であるとき、値域を求めます。

- $x$ の範囲は $\frac{1}{27} < x \le 3$ です。

- $y = \log_3 x$ は単調増加関数なので、$x$ が小さいほど $y$ も小さく、$x$ が大きいほど $y$ も大きくなります。

- $x = \frac{1}{27}$ のとき、$y = \log_3 \frac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3$

- $x = 3$ のとき、$y = \log_3 3 = 1$

- したがって、値域は $-3 < y \le 1$ となります。

2. 次の方程式を解きます。

(1) $\log_3(4x - 3) = 3$

- $4x - 3 = 3^3 = 27$

- $4x = 30$

- $x = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}$

(2) $\log_2(3x + 3) = \log_2(x^2 - 6x - 7)$

- $3x + 3 = x^2 - 6x - 7$

- $x^2 - 9x - 10 = 0$

- $(x - 10)(x + 1) = 0$

- $x = 10, -1$

- $x = -1$ のとき、$3x + 3 = 0$ となり、$x^2 - 6x - 7 = 0$ となるため、真数条件を満たしません。

- したがって、$x = 10$

- $x = 10$ のとき、$3x + 3 = 33 > 0$ かつ $x^2 - 6x - 7 = 100 - 60 - 7 = 33 > 0$ なので真数条件を満たします。

3. 不等式 $\log_2(-2x + 1) \le 3$ の解を求めます。

- 真数条件より、$-2x + 1 > 0$ なので、$x < \frac{1}{2}$

- $\log_2(-2x + 1) \le 3 = \log_2 2^3 = \log_2 8$

- $-2x + 1 \le 8$

- $-2x \le 7$

- $x \ge -\frac{7}{2}$

- したがって、$-\frac{7}{2} \le x < \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

1. 値域は $-3 < y \le 1$

2. (1) $x = \frac{15}{2}$

(2) $x = 10$

3. $-\frac{7}{2} \le x < \frac{1}{2}$