$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\frac{1}{\sin\theta} + \frac{1}{\cos\theta}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\frac{1}{\sin\theta} + \frac{1}{\cos\theta}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\sin\theta} + \frac{1}{\cos\theta}$ を通分します。

$$\frac{1}{\sin\theta} + \frac{1}{\cos\theta} = \frac{\cos\theta + \sin\theta}{\sin\theta\cos\theta}$$

問題文より、$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{4}$ なので、分子は $\frac{1}{4}$ であることがわかります。

次に、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めるために、$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{4}$ の両辺を2乗します。

$$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2$$

$$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{16}$$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、

$$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{16}$$

$$2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{16} - 1 = -\frac{15}{16}$$

$$\sin\theta\cos\theta = -\frac{15}{32}$$

したがって、

$$\frac{1}{\sin\theta} + \frac{1}{\cos\theta} = \frac{\sin\theta + \cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{15}{32}} = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{32}{15}\right) = -\frac{8}{15}$$

3. 最終的な答え

$-\frac{8}{15}$