与えられた式 $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$ を簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$ を簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x-y)^2(x+y)^2$ を計算します。

$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ であることを利用すると、

$(x-y)^2(x+y)^2 = [(x-y)(x+y)]^2 = (x^2 - y^2)^2$ となります。

したがって、与えられた式は

$(x^2 - y^2)^2(x^2 + y^2)^2 = [(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)]^2$

となります。

次に、$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$ を計算します。

これは、$x^2$ を $a$, $y^2$ を $b$ とおくと、$(a-b)(a+b)$ の形であり、$a^2 - b^2$ となります。

したがって、$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$

となります。

最後に、$(x^4 - y^4)^2$ を計算します。

$(x^4 - y^4)^2 = (x^4)^2 - 2(x^4)(y^4) + (y^4)^2 = x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

となります。

3. 最終的な答え

$x^8 - 2x^4y^4 + y^8$