$\sqrt{6}$が無理数であることを利用して、$\sqrt{2} + \sqrt{3}$が無理数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{6}$が無理数であることを利用して、$\sqrt{2} + \sqrt{3}$が無理数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

1. $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ が有理数であると仮定します。つまり、ある有理数 $r$ が存在して、

$$\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$$

が成り立つと仮定します。

2. 両辺を2乗します。

$$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = r^2$$

$$2 + 2\sqrt{6} + 3 = r^2$$

$$5 + 2\sqrt{6} = r^2$$

3. $2\sqrt{6}$ について解きます。

$$2\sqrt{6} = r^2 - 5$$

4. 両辺を2で割ります。

$$\sqrt{6} = \frac{r^2 - 5}{2}$$

5. $r$ は有理数であると仮定したので、$r^2$ も有理数です。したがって、$r^2 - 5$ も有理数であり、$\frac{r^2 - 5}{2}$ も有理数です。

6. これは、$\sqrt{6}$ が有理数であることを意味しますが、問題文では$\sqrt{6}$は無理数であると与えられています。これは矛盾です。

7. したがって、$\sqrt{2} + \sqrt{3}$が有理数であるという仮定が誤りであったことになります。

8. よって、$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ は無理数である。