(1) $(a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を計算する。 (2) (1)の結果を利用して $a^3+b^3+c^3-3abc$ を因数分解する。 (3) (2)の結果を利用して (ア) $x^3+y^3-3xy+1$ (イ) $a^3-8b^3+12ab+8$ をそれぞれ因数分解する。

1. 問題の内容

(1) $(a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を計算する。

(2) (1)の結果を利用して $a^3+b^3+c^3-3abc$ を因数分解する。

(3) (2)の結果を利用して

(ア) $x^3+y^3-3xy+1$

(イ) $a^3-8b^3+12ab+8$

をそれぞれ因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) $(a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を展開し、整理する。

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$3ab(a+b) = 3a^2b + 3ab^2$

したがって、

$(a+b)^3 - 3ab(a+b) = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (3a^2b + 3ab^2) = a^3 + b^3$

(2) $a^3+b^3+c^3-3abc$ を因数分解する。

(1)の結果から $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用する。

$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc$

ここで、$X = a+b$ とおくと、

$X^3 + c^3 - 3abX - 3abc = (X+c)(X^2 - Xc + c^2) - 3ab(X+c)$

$= (X+c)(X^2 - Xc + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)((a+b)^2 - (a+b)c + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2+2ab+b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)$

(3)

(ア) $x^3+y^3-3xy+1$ を因数分解する。

これは、$a^3+b^3+c^3-3abc$ の形をしているので、(2)の結果を利用する。

$x^3+y^3+1^3-3xy(1) = (x+y+1)(x^2+y^2+1^2 - xy - y(1) - (1)x)$

$= (x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-y-x)$

(イ) $a^3-8b^3+12ab+8$ を因数分解する。

$a^3 + (-2b)^3 + 2^3 - 3(a)(-2b)(2) = a^3 - 8b^3 + 8 + 12ab$

(2)の結果を利用すると、

$= (a-2b+2)(a^2+(-2b)^2+2^2 - a(-2b) - (-2b)(2) - 2a)$

$= (a-2b+2)(a^2+4b^2+4+2ab+4b-2a)$

$= (a-2b+2)(a^2+2ab-2a+4b^2+4b+4)$

3. 最終的な答え

(1) $a^3+b^3$

(2) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

(3) (ア) $(x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-x-y)$

(イ) $(a-2b+2)(a^2+2ab-2a+4b^2+4b+4)$