4点O(0), A(3+2i), B(6-i), C(x+6i)について、以下の問いに答えます。 (1) 3点O, A, Cが一直線上にあるように、実数xの値を定めよ。 (2) 2直線AB, ACが垂直に交わるように、実数xの値を定めよ。

1. 問題の内容

4点O(0), A(3+2i), B(6-i), C(x+6i)について、以下の問いに答えます。

(1) 3点O, A, Cが一直線上にあるように、実数xの値を定めよ。

(2) 2直線AB, ACが垂直に交わるように、実数xの値を定めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3点O, A, Cが一直線上にある条件は、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OC}$ が平行であることです。つまり、$\overrightarrow{OC} = k \overrightarrow{OA}$となる実数$k$が存在します。

$\overrightarrow{OA} = 3 + 2i$

$\overrightarrow{OC} = x + 6i$

したがって、$x + 6i = k(3 + 2i) = 3k + 2ki$

実部と虚部を比較して、

$x = 3k$

$6 = 2k$

$k = 3$

$x = 3k = 3(3) = 9$

(2) 2直線AB, ACが垂直に交わる条件は、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ が垂直であることです。つまり、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$です。

$\overrightarrow{AB} = (6-i) - (3+2i) = 3 - 3i$

$\overrightarrow{AC} = (x+6i) - (3+2i) = (x-3) + 4i$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (3 - 3i) \cdot ((x-3) + 4i) = 3(x-3) + 3(4) - 3i(x-3) + 3i(4) = 3(x-3) + 12 + (-3(x-3) +12) i = 0$

$3(x-3) + 12 = 0$

$3x - 9 + 12 = 0$

$3x + 3 = 0$

$3x = -3$

$x = -1$

3. 最終的な答え

(1) $x = 9$

(2) $x = -1$