因数分解の公式 $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ を利用して、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$) が成り立つとき、$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

因数分解の公式 $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ を利用して、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$) が成り立つとき、$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた公式を利用して、$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ を因数分解します。

$$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$$

ここで、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用すると、

$$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ が与えられているので、$\sin \theta \cos \theta$ の値を求める必要があります。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2$ を計算します。

$$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ より、

$$\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$$

$$\frac{1}{16} = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$$

$$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{16} - 1 = -\frac{15}{16}$$

$$\sin \theta \cos \theta = -\frac{15}{32}$$

これを $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$ に代入します。

$$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \left(\frac{1}{4}\right)\left(1 - \left(-\frac{15}{32}\right)\right) = \frac{1}{4}\left(1 + \frac{15}{32}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{32+15}{32}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{47}{32}\right)$$

$$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{47}{128}$$

3. 最終的な答え

$\frac{47}{128}$