関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分して、$y'$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分して、$y'$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$y = \frac{1}{x^2 - 1} = (x^2 - 1)^{-1}$と変形する。

合成関数の微分公式を用いる。すなわち、$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ を用いる。

この場合、$f(u) = u^{-1}$ であり、$g(x) = x^2 - 1$である。

まず、$f'(u) = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

そして、$g'(x) = 2x$

したがって、$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\frac{1}{(x^2 - 1)^2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$

選択肢3が正しい。