与えられた方程式を解いて、$x$ の値を求めます。方程式は次の通りです。 $\frac{x}{x-3} + \frac{1}{x+2} = \frac{5x}{x^2 - x - 6}$

1. 問題の内容

与えられた方程式を解いて、$x$ の値を求めます。方程式は次の通りです。

$\frac{x}{x-3} + \frac{1}{x+2} = \frac{5x}{x^2 - x - 6}$

2. 解き方の手順

まず、右辺の分母を因数分解します。

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$

よって、方程式は次のようになります。

$\frac{x}{x-3} + \frac{1}{x+2} = \frac{5x}{(x-3)(x+2)}$

次に、方程式全体に$(x-3)(x+2)$をかけます。ただし、$x \neq 3$ かつ $x \neq -2$である必要があります。

$x(x+2) + (x-3) = 5x$

括弧を展開します。

$x^2 + 2x + x - 3 = 5x$

整理して、$x$に関する二次方程式にします。

$x^2 + 3x - 3 = 5x$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

この二次方程式を因数分解します。

$(x - 3)(x + 1) = 0$

したがって、$x = 3$または$x = -1$となります。

ただし、最初の条件で$x \neq 3$だったので、$x = 3$は解ではありません。

したがって、$x = -1$のみが解となります。

3. 最終的な答え

$x = -1$