ベクトル $\vec{a} = (1, -3)$, $\vec{b} = (-2, 3)$, $\vec{c} = (3, 0)$ が与えられたとき、以下のベクトルの成分と大きさを求める問題です。 (1) $3\vec{a}$ (2) $2\vec{a} - 5\vec{b}$ (3) $3\vec{a} - 4\vec{b} + 2\vec{c}$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, -3)$, $\vec{b} = (-2, 3)$, $\vec{c} = (3, 0)$ が与えられたとき、以下のベクトルの成分と大きさを求める問題です。

(1) $3\vec{a}$

(2) $2\vec{a} - 5\vec{b}$

(3) $3\vec{a} - 4\vec{b} + 2\vec{c}$

2. 解き方の手順

(1) $3\vec{a}$ の場合

$\vec{a} = (1, -3)$ なので、

$3\vec{a} = 3(1, -3) = (3 \cdot 1, 3 \cdot (-3)) = (3, -9)$

大きさは、

$|3\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

(2) $2\vec{a} - 5\vec{b}$ の場合

$2\vec{a} = 2(1, -3) = (2, -6)$

$5\vec{b} = 5(-2, 3) = (-10, 15)$

$2\vec{a} - 5\vec{b} = (2, -6) - (-10, 15) = (2 - (-10), -6 - 15) = (12, -21)$

大きさは、

$|2\vec{a} - 5\vec{b}| = \sqrt{12^2 + (-21)^2} = \sqrt{144 + 441} = \sqrt{585} = 3\sqrt{65}$

(3) $3\vec{a} - 4\vec{b} + 2\vec{c}$ の場合

$3\vec{a} = 3(1, -3) = (3, -9)$

$4\vec{b} = 4(-2, 3) = (-8, 12)$

$2\vec{c} = 2(3, 0) = (6, 0)$

$3\vec{a} - 4\vec{b} + 2\vec{c} = (3, -9) - (-8, 12) + (6, 0) = (3 + 8 + 6, -9 - 12 + 0) = (17, -21)$

大きさは、

$|3\vec{a} - 4\vec{b} + 2\vec{c}| = \sqrt{17^2 + (-21)^2} = \sqrt{289 + 441} = \sqrt{730}$

3. 最終的な答え

(1) $3\vec{a} = (3, -9)$, $|3\vec{a}| = 3\sqrt{10}$

(2) $2\vec{a} - 5\vec{b} = (12, -21)$, $|2\vec{a} - 5\vec{b}| = 3\sqrt{65}$

(3) $3\vec{a} - 4\vec{b} + 2\vec{c} = (17, -21)$, $|3\vec{a} - 4\vec{b} + 2\vec{c}| = \sqrt{730}$