ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が、$\vec{x}$ と $\vec{y}$ を用いて以下のように表されている。 $\vec{a} = \frac{3\vec{x} + 2\vec{y}}{7}$ $\vec{b} = -\frac{2\vec{x} - 3\vec{y}}{4}$ このとき、$\vec{x}$ と $\vec{y}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が、$\vec{x}$ と $\vec{y}$ を用いて以下のように表されている。

$\vec{a} = \frac{3\vec{x} + 2\vec{y}}{7}$

$\vec{b} = -\frac{2\vec{x} - 3\vec{y}}{4}$

このとき、$\vec{x}$ と $\vec{y}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

与えられた2つの式から $\vec{x}$ と $\vec{y}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。

まず、与えられた式を整理する。

$7\vec{a} = 3\vec{x} + 2\vec{y}$ ...(1)

$-4\vec{b} = 2\vec{x} - 3\vec{y}$ ...(2)

(1)式を2倍、(2)式を3倍すると、以下のようになる。

$14\vec{a} = 6\vec{x} + 4\vec{y}$ ...(3)

$-12\vec{b} = 6\vec{x} - 9\vec{y}$ ...(4)

(3)式から(4)式を引くと、$\vec{x}$ が消去され、$\vec{y}$ に関する式が得られる。

$14\vec{a} - (-12\vec{b}) = (6\vec{x} + 4\vec{y}) - (6\vec{x} - 9\vec{y})$

$14\vec{a} + 12\vec{b} = 13\vec{y}$

$\vec{y} = \frac{14\vec{a} + 12\vec{b}}{13}$ ...(5)

同様に、$\vec{y}$ を消去するために、(1)式を3倍、(2)式を2倍すると、以下のようになる。

$21\vec{a} = 9\vec{x} + 6\vec{y}$ ...(6)

$-8\vec{b} = 4\vec{x} - 6\vec{y}$ ...(7)

(6)式と(7)式を足すと、$\vec{y}$ が消去され、$\vec{x}$ に関する式が得られる。

$21\vec{a} + (-8\vec{b}) = (9\vec{x} + 6\vec{y}) + (4\vec{x} - 6\vec{y})$

$21\vec{a} - 8\vec{b} = 13\vec{x}$

$\vec{x} = \frac{21\vec{a} - 8\vec{b}}{13}$ ...(8)

3. 最終的な答え

$\vec{x} = \frac{21\vec{a} - 8\vec{b}}{13}$

$\vec{y} = \frac{14\vec{a} + 12\vec{b}}{13}$