与えられた2次関数 $y = (x-1)^2 + 3$ および $y = (x-1)^2 - 3$ において、指定された定義域での最大値と最小値を求め、その時の $x$ の値を求めます。 (1) $y = (x-1)^2 + 3$、定義域は $-2 \le x \le 3$ (2) $y = (x-1)^2 - 3$、定義域は $2 \le x \le 4$

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = (x-1)^2 + 3$ および $y = (x-1)^2 - 3$ において、指定された定義域での最大値と最小値を求め、その時の $x$ の値を求めます。

(1) $y = (x-1)^2 + 3$、定義域は $-2 \le x \le 3$

(2) $y = (x-1)^2 - 3$、定義域は $2 \le x \le 4$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x-1)^2 + 3$の場合:

* 関数のグラフは下に凸の放物線であり、頂点は $(1, 3)$ です。

* 定義域 $-2 \le x \le 3$ において、頂点 $x=1$ が含まれます。

* $x=1$ のとき、$y = (1-1)^2 + 3 = 3$。これが最小値です。

* 定義域の端点 $x=-2$ と $x=3$ での $y$ の値を計算します。

* $x=-2$ のとき、$y = (-2-1)^2 + 3 = (-3)^2 + 3 = 9 + 3 = 12$

* $x=3$ のとき、$y = (3-1)^2 + 3 = (2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7$

* $x=-2$ のときに最大値 $12$ をとります。

(2) $y = (x-1)^2 - 3$の場合:

* 関数のグラフは下に凸の放物線であり、頂点は $(1, -3)$ です。

* 定義域 $2 \le x \le 4$ において、頂点 $x=1$ は含まれません。

* 定義域の端点 $x=2$ と $x=4$ での $y$ の値を計算します。

* $x=2$ のとき、$y = (2-1)^2 - 3 = (1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

* $x=4$ のとき、$y = (4-1)^2 - 3 = (3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6$

* $x=2$ のときに最小値 $-2$ をとります。

* $x=4$ のときに最大値 $6$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $y = (x-1)^2 + 3$ の場合:

* 最大値: $12$ ($x = -2$ のとき)

* 最小値: $3$ ($x = 1$ のとき)

(2) $y = (x-1)^2 - 3$ の場合:

* 最大値: $6$ ($x = 4$ のとき)

* 最小値: $-2$ ($x = 2$ のとき)