$x = \frac{14}{4+\sqrt{2}}$ について、 (1) $x$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。 (2) $(a-b)^2 + \frac{b}{a}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{14}{4+\sqrt{2}}$ について、

(1) $x$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

(2) $(a-b)^2 + \frac{b}{a}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x = \frac{14}{4+\sqrt{2}}$ の分母を有理化します。

$x = \frac{14}{4+\sqrt{2}} = \frac{14(4-\sqrt{2})}{(4+\sqrt{2})(4-\sqrt{2})} = \frac{14(4-\sqrt{2})}{16-2} = \frac{14(4-\sqrt{2})}{14} = 4-\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$ の近似値を求めます。$\sqrt{2} \approx 1.414$ であるから、

$x = 4 - \sqrt{2} \approx 4 - 1.414 = 2.586$

したがって、$x$ の整数部分は $a = 2$ です。

$x$ の小数部分 $b$ は、$x - a$ で求められるので、$b = x - a = (4-\sqrt{2}) - 2 = 2 - \sqrt{2}$

(2)

(1) で求めた $a=2$ と $b=2-\sqrt{2}$ を $(a-b)^2 + \frac{b}{a}$ に代入します。

$(a-b)^2 = (2-(2-\sqrt{2}))^2 = (2-2+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$\frac{b}{a} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$(a-b)^2 + \frac{b}{a} = 2 + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a=2$, $b=2-\sqrt{2}$

(2) $3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$