$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $(x - \frac{1}{x})^2$ (3) $x^2 - \frac{1}{x^2}$

1. 問題の内容

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $(x - \frac{1}{x})^2$

(3) $x^2 - \frac{1}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$ を計算する。

$\frac{1}{x} = \frac{2}{3 - \sqrt{5}} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

よって、

$x + \frac{1}{x} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

(2) $(x - \frac{1}{x})^2$ を計算する。

$x - \frac{1}{x} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} - \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 - \sqrt{5} - (3 + \sqrt{5})}{2} = \frac{3 - \sqrt{5} - 3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{-2\sqrt{5}}{2} = -\sqrt{5}$

よって、

$(x - \frac{1}{x})^2 = (-\sqrt{5})^2 = 5$

(3) $x^2 - \frac{1}{x^2}$ を計算する。

$x^2 - \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$

(1)と(2)より、$x + \frac{1}{x} = 3$、$x - \frac{1}{x} = -\sqrt{5}$

$x^2 - \frac{1}{x^2} = 3 \times (-\sqrt{5}) = -3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 5

(3) $-3\sqrt{5}$